Контрольная работа № 8 для ЗРФ

Тема: «Дифференциальные уравнения»

Короткая теория и методические указания для решения:

1. Дифференциальные уравнения I порядка: либо либо . Общее решение – это совокупа решений либо , зависящих от случайной неизменной С.

Виды и способы решения неких дифференциальных уравнений I порядка:

1.1 Уравнения с разделяющимися переменными

Метод решения:

а) ; Умножим на обе части уравнения. Получим б) ;

в) Разделим Контрольная работа № 8 для ЗРФ переменные, чтоб слева были функции, зависящие от у, а справа – от х. Для этого разделим обе части уравнения на . Получим ;

г) Произведя интегрирование (слева по , справа по ) получим решение

.

1.2 Однородные дифференциальные уравнения I порядка , где имеет вид либо может быть приведена в виду , тогда уравнение подменой приводится к уравнению с Контрольная работа № 8 для ЗРФ разделяющимися переменными. Получаем и уравнение воспринимает вид , т.е. и . Решив это уравнение, получим t как функцию от х. Подставив , получим решение уравнения в неявном виде.

Примечание. Дроби и приводятся к виду делением числителя и знаменателя на одно и то же выражение: на , на .

1.3 Линейные дифференциальные уравнения I Контрольная работа № 8 для ЗРФ порядка ( и у входят в первой степени). Способом Бернулли подменой приводим к поочередному решению 2-ух уравнений с разделяющимися переменными относительно и потом . . Подставим в уравнение: либо (1.2.1) . Определим таким макаром: . Решив это уравнение, одно личное решение подставим в (1.2.1) . Получим уравнение относительно : . Определим общее решение . Общее решение уравнения 1.2 есть Контрольная работа № 8 для ЗРФ .

1.4 Уравнения в полных дифференциалах.

Уравнение может быть записано в дифференциальной форме:

1.4.1

Это уравнение именуется уравнением в полных дифференциалах, если

, т.е. является полным дифференциалом функ-

ции . При всем этом , 1.4.2

Для того, чтоб выражение , нужно и доста-

точно, чтоб производилось условие

1.4.3 .

Тогда уравнение 1.4.1 имеет вид .

1.4.4 Общее решение этого уравнения ( - случайная неизменная).

1.4.5 Способ нахождения функции Контрольная работа № 8 для ЗРФ .

Интегрируем равенство (1.4.2) по при фиксированном

(при всем этом случайная неизменная может зависеть от ). Получим

1.4.6 . По равенству 1.4.2 , тогда

, откуда

Благодаря условию 1.4.3 в правой части этого уравнения будет только функция

от .

Находим интегрированием по , подставляем в 1.4.6 и в 1.4.4.

2. Дифференциальные уравнения II порядка. . Общее решение – это совокупа решений

вида , где и – произвольные неизменные.

2.1 Дифференциальные линейные Контрольная работа № 8 для ЗРФ уравнения II порядка с неизменными коэффициентами. , и – неизменные числа. Если , то уравнение именуется однородным, если , то неоднородным.

Общее решение неоднородного уравнения , где – общее решение однородного уравнения, – какое-нибудь личное решение неоднородного уравнения.

2.1.1. Решение однородного линейного уравнения II порядка

Составим и решим характеристическое уравнение . Дискриминант .

Могут быть 3 варианта:

а) , два различных реальных корня и Контрольная работа № 8 для ЗРФ , ;

б) , два равных реальных корня: = , ;

в) , два всеохватывающих корня: и , – надуманная единица, , – действительная, – надуманная часть всеохватывающего числа; . Если , .

2.1.2. Нахождение личного решения неоднородного уравнения способом неопределённых коэффициентов зависимо от вида правой части уравнения .

и – корешки характеристического уравнения.

2.1.2.1. (а и – данные числа)

а) , , ;

б) , либо .

2.1.2.2.

а) , , ;

б) , либо .

в) .

2.1.2.3. (а Контрольная работа № 8 для ЗРФ, , – данные числа, а либо может быть равно 0).

а) , , ;

б) либо .

Коэффициенты M и N находят способом неопределённых коэффициентов. Подставим , , в уравнение 2.1. получим . Приравняем коэффициенты в левой и правой части при схожих степенях х, либо при , либо при , либо при , либо при , либо при , либо при и при .

2.1.3. Личное решение дифференциального Контрольная работа № 8 для ЗРФ уравнения при данных исходных критериях . Выпишем общее решение неоднородного уравнения: , найдем . Подставим исходные условия в выражение для и , получим систему 2-ух уравнений относительно и . Обнаружив и , подставим их значения в решение у.

Примеры

  1. Отыскать общее решение дифференциального уравнения .

Это уравнение с разделяющимися переменными 1.1.

а) ; б) ; в) ; г Контрольная работа № 8 для ЗРФ) ;

Решение .

2. Отыскать общее решение дифференциального уравнения . Это однородное дифференциальное уравнение I порядка.Разделим числитель и знаменатель дроби в правой части уравнения на .

Получим . Пусть ;

.

; . Вычислим

. Подставив , получим решение: .

3. Отыскать общее решение дифференциального уравнения .

Это линейное уравнение I порядка вида 1.3. Подмена , , , . Решаем , , , , . Подставляем , т.е. , ; , , , тогда решение .

4. Отыскать общее решение дифференциального уравнения

.

Тут , .

Проверим Контрольная работа № 8 для ЗРФ условие (1.4.3)

; .

Условие 1.4.3 выполнено, как следует, уравнение является уравнением в

полных дифференциалах.

Решение. Интегрируем по при неизменном равенство .

Получим

Дальше, по 1.4.2.

Другими словами .

Либо , тогда .

По 1.4.6 .

По 1.4.4 .

5. Отыскать личное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее исходным условиям . Решаем по 2.1).

Решение.

а) Однородное уравнение (2.1.1). Характеристическое уравнение .

б) Личное решение неоднородного уравнения (2.1.2) ; ; .

Ищем ; . Подставим в Контрольная работа № 8 для ЗРФ неоднородное уравнение:

.Приравниваем коэффициенты при и в левой и правой части тождества

. Итак, .

в) Общее решение: .

г) Найдём личное решение при исходных критериях (по 2.1.3): Из в) найдем

. Подставим исходные условия:

. Личное решение: при ; .

Варианты контрольной работы

Контрольная работа содержит 4 задания:

1) Отыскать общее решение однородного дифференциального уравнения I порядка

2) Отыскать общее решение Контрольная работа № 8 для ЗРФ линейного дифференциального уравнения I порядка.

3) Отыскать общее решение дифференциального уравнения порядка, за ранее убе-

дившись, что это есть уравнение в полных дифференциалах.

4) Отыскать личное решение дифференциального уравнения II порядка , удовлетворяющее исходным условиям .


kontrol-vipolneniya-byudzhetnih-pokazatelej.html
kontrol-vipolnennogo-zadaniya-sostoitsya-na-srsp-po-raspisaniyu-konsultacii.html
kontrol-vozdushnoj-sredi.html